Matematika Diskrit “Teori Himpunan”

Teori himpunan merupakan konsep dasar dalam pembahasan matematika diskrit

1.1  Definisi himpunan

– Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

– Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

– HIMATIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

1.2  Penyajian

A. Himpunan Enumerasi

Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanyasuatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf  kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.

B. Contoh

– Himpunan A mempunyai tiga bilangan asli pertama: A={1,2,3}.

– Himpunan B mempunyai dua bilangan genap positif pertama: B={4,5}.

– Meskipun himpunan biasa digunakan untuk mengelompokkan objek yang mempunyai sifat mirip, tetapi dari definisi himpunan   diketahui  bahwa sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda.

– contoh: {hewan, a, Amir, 10, komputer} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu hewan, a, Amir, 10, komputer.

– R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }    C  = {a, {a}, {{a}} }

Contoh tersebut memperlihatkan bahwa suatu himpunan bisa terdapat anggota himpunan lain.

– K={ }

Contoh tersebut adalah himpunan kosong, karena K hanya berisi satu elemen yaitu { }.

Himpunan kosong dapat dilambangkan dengan Ø.

– Himpunan 100 buah bilangan asli pertama bisa dituli {1, 2, …, 100}

Untuk menuliskan himpunan yang tak berhingga, kita dapat menggunakan tandaellipsis(∞).

– Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

C. Keanggotaan

     x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;

     x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

     misal, A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

     maka, 1 ∈ A dan b ∉ A

D. Simbol-simbol Baku

Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan,

antara lain:

P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…}

N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2,…}

Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah  himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U.

Himpunan  U harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan berdasarkan pembicaraan. Sebagai contoh, misalnya U = {bil. Genap kurang dari 6} berarti U= {2, 4}

E. Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi:{x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:

• Bagian di kiri tanda ’|’ melambangkan elemen himpunan
• Tanda ’|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
• Bagian di kanan tanda ’|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
• Setiap tanda ’,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli

Daftar anggota: A={1,2,3,. . .}

Notasi pembentuk himpunan: A={x | x ∈ A }

F. Diagram Venn

Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

                  A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

1.3  Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan Amerupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau |A|  , notasi |A| untuk menyatakan kardinalitas himpunan.

B = {x|x merupakan HIMA di STTG}, Maka |B| = 4, dengan elemen-elemen Badalah HIMATIF, HIMAKOM, HIMASIP, HIMATI.

A = {a, {a}, {{a}}, maka |A| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a}, dan {{a}}.

Himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya mempunyai kardinalitas tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| = ∞.

1.4  Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi: Ø atau { }

Contoh: A = {x | x < x}, maka n(A) = 0

Perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}.

1.5  Himpunan bagian (subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B

Contoh: A ⊆ B jika elemen A ada di B                                                                                                                                                                                           A={1,2,3}                                                                                                                                                                                                                                         B={1,2,3,4,5,7}                                                                                                                                                                                                                                                              C={1,2,4,5}     

Jadi : * A ⊆ B                                                                                                                                                                                                                                                                     * A bukan himpunan bagian C

1.6  Himpunan yang Sama

– Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

– A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dariA. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

– Notasi : A = B  ↔  A ⊆ B dan B ⊆ A   

– Contoh: A={a,b,c}, B={c,a,b}      Jadi, A=B

– tiga prinsip yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

1. urutan elemen dalam himpunan tidak penting.         

     jadi {1,2,3} = {3,2,1} = {1,3,2}

2. pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.            

      Jadi, {1,1,1,1}={1,1}={1}          {1,2,3}={1,2,1,3,2,1}

3. untuk tiga buah himpunan, A, B, C berlaku aksioma berikut:

– A = A, B = B, dan C=C

– Jika A = B,maka B

– Jika A = B, dan B = C maka A = C

1.7  Himpunan Ekivalen

– Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

– Notasi: A ~ B  ↔ |A|=|B|

Contoh: A={a,b,c} dan B={2,4,6} maka A ~ B sebab |A|= |B|

1.8  Himpunan Saling Lepas

– Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

– Notasi : A // B  

– Contoh: jika A={2,4,6,8} dan B={3,5,7} maka A // B sebab elemen himpunan A dan elemen himpunan B tidak ada yang sama.

1.9  Himpunan Kuasa

• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
• Notasi : P(A) atau 2A
• Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m.

Contoh:

– Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

– Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, & himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}.

1.10  Operasi Pada Himpunan

1. Irisan ( ∩ )

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5}

2. Gabungan  ( ∪ )

Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah  himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11}

3. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11}

4. Selisih

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4}

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

6. Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan

berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka  C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

         Catatan:

1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|

2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.

4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅

1.11   Sifat-sifat Operasi Himpunan

1. Hukum identitas: – A ∪ ∅ = A – A ∩ U  = A	2.Hukum null: – A ∩ ∅ = ∅ – A ∪ U = U
3. Hukum Komplemen: – A ∪ Ā = U – A ∩   Ā = ∅	4. hukum idempotent: – A ∪ A = A – A  ∩ A = A
5. Hukum Involusi: –  –(–A)= A	6. Hukum Penyerapan: – A ∪ (A ∩ B) = A – A ∩ (A ∪ B) = A
7. Hukum Komutatif: – A ∪ B = B ∪ A – A ∩ B = B ∩ A	8. Hukum Asosiatif: – A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C – A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C – A ⊕ (B ⊕ C)=(A ⊕ B) ⊕ C
9. Hukum distributif : – A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A∩C)	10. Hukum DeMorgan : – A∩B = A∪ B – A∪B = A∩ B

1.12  Prinsip Inklusi-Eksklusi

• Berapa banyak anggota didalam gabungan dua buah himpunan A dan B? Penggabungan dua buah menghasilkan dua buah himpunan baru yang elemen-elemenya berasal dari himpunan A dan himpunan B.
• Himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen-elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah ⏐A ∩ B⏐. Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua  kali, sekali pada ⏐A⏐ dan sekali pada ⏐B⏐, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam ⏐A∪ B⏐, karena itu, jumlah elemen hasil penghubungan seharusnya adalah jumlah elemen dimasing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen didalam irisannya, atau ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐–⏐A ∩ B⏐.

Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi-eksklusi. Dengan cara yang sama, kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup:  ⏐A ⊕ B⏐= ⏐A⏐ + ⏐B⏐– 2⏐A ∩ B⏐

1.13  Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2 …..dari A sedemikian

sehingga :

(a)    A1  A2  …. = A, dan

(b)   Himpunan bagian Ai saling lepas;yaitu Ai ∩ Aj = Ø untuk i ≠ j.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

1.14  Multiset

• Dari definisi himpunan, himpunan adalah kumpulan elemen yang berbeda. Namun pada beberapa situasi, adakalanya elemen himpunan tidak seluruhnya berbeda, misalnya himpunan nama-nama mahasiswa di sebuah kelas. Nama-nama mahasiswa di dalam sebuah kelas mungkin ada yang sama, karena itu ada perulangan elemen yang sama di dalam himpunan tersebut. Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan-ganda  atau multiset. Contoh: {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {} adalah himpunan ganda.

• Multiplisitas dari suatu elemen pada multiset adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada multiset. Misalkan : Jika M = { 0, 1, 01, 1, 0, 001, 0001, 00001, 0, 0, 1}, maka multiplisitas elemen 0 adalah 4. Himpunan merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sbg kardinalitas himpunan padanannya, dgn mengasumsikan elemen2 di dalam multiset semua berbeda.

• Operasi Antar Dua Buah Multiset

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh:

             P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

             P Q = { a, a, a, b,  c, c, d, d

2.  P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tsb pada himpunan P dan Q.

Misal:  Jika P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } maka P ∩ Q = { a, a, c }

1.15  Pembuktian Kalimat Himpunan

Kalimat himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Kalimat dapat berupa kesamaan himpunan, misalnya “A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)” adalah sebuah kesamaan himpunan, atau berupa kalimat implikasi seperti “jika A ∩ B = Ø  dan  A ⊆ (B ∪ C) maka selalu berlaku bahwa A ⊆ C”.