Menentukan Peluang Kejadian Majemuk Dan Kejadian Bersyarat

Peluang salah satu materi dalam matematika yang asyik untuk dibahas, karena pembahasan peluang ini tidak cukup menguras otak kita. Sebelumnya telah diberikan materi mengenai peluang, permutasi serta kombinasi dan kali ini materi peluang yang akan kita bahas yaitu Peluang kejadian majemuk yaitu peluang yang berasal dari lebih dari satu kejadian serta peluang kejadian bersyarat.

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

1. Peluang Gabungan Dua Kejadian

Jika diketahui A dan B merupakan dua kejadian yang berbeda sehingga peluang kejadian A ∪  B ditentukan menurut aturan :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

contoh :

1. Jika terdapat sebuah dadu yang akan dilambungkan sekali, jika dimisalkan A adalah kejadain munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Maka tentukanlah peluang munculnya bilangan prima atau bilangan ganjil!

Jawab :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil yaitu {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima yaitu {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6  – 2/6 = 4/6 = 2/3
Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan prima adalah 2/3

2.Jika kita mempunyai 1 set kartu bridge, selanjutnya akan kita ambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge tersebut. Tentukan peluang terambilnya kartu as atau kartu hati dari proses pengambilan kartu tersebut!

Jawab :

n(S) = 52 (banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge adalah 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
P(A) =4/52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
P(B) = 13/52
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan  Hati dalam1 set kartu bridge 1)
P(A∩B) = 1/52
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 =16/52
Sehingga peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati  adalah 16/52

2.  Peluang Kejadian Saling Lepas / Kejadian Saling Asing

Jika terdapat dua kejadian A dan B, kedua kejadian ini dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Hal ini berarti A∩B = 0  atau P(A∩B) = 0. Maka dalam  menghitung peluang kejadian saling asing ini kita dapat gunakan aturan :

karena P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
maka   P (A∪ B) = P(A) + P(B)

contoh :

Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali, misalnya  A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap?

Jawab :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil yaitu {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap yaitu {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah 1

3. Peluang Kejadian Saling Bebas

Jika terdapat dua kejadian A dan B, dua kejadian ini dikatakan saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B  begitu juga sebaliknya. Atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung terjadi atau tidaknya kejadian B, begitu juga sebaliknya. Hal ini seperti digambarkan pada peristiwa pelemparan dua buah dadu sekaligus. Misalkan A merupakan kejadian munculnya dadu pertama angka 5 dan B merupakan kejadian munculnya dadu kedua angka 3. Sehingga kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, yang dirumuskan sebagai berikut :

P(A∩B) = P(A) × P(B)

Perhatikan contoh berikut :

1. Diketahui terdapat dua buah dadu yang akan dilempar secara bersamaan, dari pelemparan tersebut tentukan peluang munculnya mata dadu 3 untuk dadu pertama dan mata dadu 5 untuk dadu kedua?

jawab :

Kejadian pada soal ini merupakan dua kejadian saling bebas, hal ini disebabkan karena munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misalkan  kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, sehingga:
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6  P(A) = 6/36 = 1/6
Misalkan  kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, sehingga:
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6  P(B) = 6/36 = 1/6

P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/6  × 1/6  = 1/36

Sehingga  peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
pada dadu kedua adalah  1/36

2. Terdapat dua buah kotak, Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Jika akan diambil sebuah bola secara acak pada masing-masing kotak tersebut. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!

Jawab :

Kotak A
n(S) = 8C1 = 8!/(1!(8-1)!) = 8!/7!  =8.7!/7!=  8
Dimisalkan kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, sehingga :
n(A) = 5C1 = 5!/(1!(5-1)!)= 5!/4! = 5,    P(A) = n(A)/n(S) = 5/8
Kotak B
n(S) = 7C1 = 7!/(1!(7-1)!)  = 7!/6!  =   7

Dimisalkan kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, sehingga :
n(B) = 2C1 = 2!/(1!(2-1)!) =2!/1!= 2,    P(B) = n(B)/n(S)= 2/7
Jadi P(A∩B) = P(A) × P(B) = 5/8  × 2/7 = 5/28
PELUANG KEJADIAN BERSYARAT

Jika diketahui dua buah kejadian A dan B, dua kejadian ini dikatakan kejadian bersyarat/kejadian yang saling bergantung  jika terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Sehingga untuk peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi dapat dihitung menggunakan rumus :

P(A/B) =    P(A∩B)/P(B) dimana  P(B) ≠ 0

sedangkan peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi dapat dihitung menggunakan rumus :

P(B/A) =    P(A∩B)/P(A) dimana P(A) ≠ 0

contoh :

Terdapat sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Jika akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:
Misalkan kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, sehingga :
P(A) = n(A)/n(S)= 5/8

Misalkan  kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, sehingga :
P(B/A) = n(B/A)/n(S) = 4/7
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) =  5/8  × 4/7 =5/14

Sampai disini dulu informasi mengenai peluang kejadian majemuk dan kejadian bersyarat, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca sekaliansehingga dapat lebih memahami tentang materi peluang . 

More about → Menentukan Peluang Kejadian Majemuk Dan Kejadian Bersyarat

Pengertian Dan Cara Menghitung Rabat (Diskon), Bruto, Tara Dan Neto

1. Rabat (Diskon)

Rabat merupakan potongan harga atau lebih sering dikenal dengan istilah diskon. Yang biasanya banyak swalayan menggunakannya untuk menarik konsumen datang ke toko mereka. Pada contohnya ketika menjelang hari besar, hari raya idul fitri misalnya, pastinya banyak swalayan yang menggelar diskon untuk berbagai kebutuhan, baik makanan, pakaian, dll. Dan biasanya rabat (diskon) ini diperhitungkan dengan persen. Dalam pemakainnya terdapat perbedaan istilah antara rabat dan diskon. Istilah rabat digunakan oleh produsen kepada grosir, agen, atau pengecer. Sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, agen, atau pengecer kepada konsumen.

Perhatikan contoh dibawah ini.

Seseorang membeli baju di toko Berkah seharga Rp 85.000,00. Toko tersebut memberikan diskon 20% untuk setiap pembelian. Berapakah uang yang harus ia bayar?

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa

Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon)

dimana :

harga kotor adalah harga barang sebelum dipotong rabat (diskon)

harga bersih adalah harga barang sesudah dipotong rabat (diskon)

2. Bruto, Tara dan Neto

Perhatikan contoh kasus berikut yang akan mempermudah dalam kita memahami pengertian dari bruto, tara dan neto. Misalnya setiap kali temen-temen membeli makanan kecil, berat barang yang temen-temen beli merupakan berat kotor, artinya berat makanan kecil ditambah berat kemasannya. Berat kemasan barang seperti plastik, karung, kertas disebut tara. Dan berat barang beserta kemasannya disebut berat kotor atau bruto, sedangkan berat barangnya saja disebut berat bersih atau neto. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bruto = neto + tara

Neto = bruto – tara

Tara = bruto – neto

Jika yang diketahui persen tara dan bruto, maka temen-temen dapat mencari tara dengan rumus sebagai berikut.

Tara = persen tara x bruto

Untuk menentukan harga bersih setelah memperoleh potongan berat (tara) dapat dirumuskan sebagai berikut.

Harga bersih = neto x harga/satuan berat

perhatikan contoh dibawah ini.

Mudah-mudahan penjelasan singkat mengenai Rabat (Diskon), Bruto, Tara dan Netto ini dapat membantu temen-temen dalam menyelesaikan soal matematika yang berhubungan dengan materi ini. Dan semoga kita semua makin mengenal matematika, karena seperti kata pepatah tak kenal maka tak sayang.. kenalan lebih dalam yu sama matematika..

More about → Pengertian Dan Cara Menghitung Rabat (Diskon), Bruto, Tara Dan Neto

Fungsi Komposisi Serta Cara Cepat Menyelesaikan Soal-Soalnya

Matematika memang sangat luas, rasanya telah begitu banyak materi kita ulas seperti pembuktian rumus volume bola, cara mencari KPK dan FPB, rumus Phytagoras, aljabar, integral, dll. Tetapi masih banyak juga materi dalam matematika yang belum kita bahas, dan pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Fungsi Komposisi. Apa itu Fungsi Komposisi?

Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domainnya adalah bilangan real, dan g(x) = √(x – 1) dengan domain x ≥ 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g ○ f dapat digambarkan sebagai berikut.

Mula-mula x merupakan anggota domain f yang selanjutnya dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x). Darif(x) dipetakan kembali oleh g ke g(f(x)). Dengan demikian fungsi komposisi g ○ f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, selanjutnya bayangannya dipetakan kembali oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi dari fungsi komposisi berikut.

Diketahui f dan g dua fungsi sembarang, maka fungsi komposisi f dan g ditulis g ○ f didefinisikan sebagai (g ○ f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota domain f.

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ○ f adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.

Perhatikan contoh berikut :

1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x² + 6x – 7, maka g(x) = …

 Penyelesaian :

(f o g)(x)     = 2x² + 6x – 7

    f(g(x))     =  2x² + 6x – 7

 2(g(x)) + 3 = 2x² + 6x – 7

2 (g(x))       =  2x² + 6x –10

jadi      g(x) = x² + 3x – 5

2. Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x² – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x² – 6x – 1

maka f(x) = ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)            = 2x² – 6x – 1

 f (g(x))             = 2x² – 6x – 1

 f ( x² – 3x + 1)  = 2x² – 6x – 1

                           = 2 ( x² – 3x + 1 ) – 3

Jadi       f (x)      = 2x – 3

3. Jika f(x) = x² + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….

Penyelesaian :

 g(8) = 8 – 12 = – 4

jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)² + 3(-4) = 16 – 12 = 4

4. Diketahui (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)     = x² + 3x + 4

f (g(x))        =  x² + 3x + 4

Untuk    g(x)    = 3              maka

           4x – 5   = 3

                   4x = 8

                    x = 2

Karena  f (g(x))  =  x² + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga :

f (3) =  2² + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14

INVERS FUNGSI KOMPOSISI

Misalnya diketahui  fungsi f : A  B dan g : B  C. Jika h adalah fungsi komposisi dari f atau g . dengan  maka invers  fungsi h adalah  dengan  jadi jika  maka .

Sedikit penjelasan mengenai fungsi komposisi ini mudah-mudahan dapat membantu sobat semua dalam proses belajar matematika lebih dalam.

More about → Fungsi Komposisi Serta Cara Cepat Menyelesaikan Soal-Soalnya

Pecahan, Perbandingan Serta Persen

Hari ini saya akan mengulas tentang pecahan, perbandingan serta persen. Yang biasanya dianggap gampang untuk sebagian orang, sebenarnya materi apapun akan menjadi gampang jika kita mengerti konsepnya. Kali ini kami akan memberikan konsep dari pecahan, perbandingan serta persen.

PECAHAN

merupakan bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, yang hakikat transaksinya yaitu untuk menyederhanakan pembilang juga penyebutnya. Mana yang disebut pembilang dan mana yang disebut penyebut ? contohnya pada pecahan ½ maka angka 1 disebut pembilang dan angka 2 disebut penyebut. Bilangan pecahan terdiri dari 3 jenis yaitu :

1. Pecahan desimal, contohnya : 0,75
2. Pecahan biasa, contohnya : ¼,½,¾,…
3. Pecahan campuran, contohnya: 1¼, 3½,…

Operasi Pada Pecahan

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

Dalam penjumlahan dan pengurangan pecahan yang perlu diperhatikan pada bagian penyebut, karena bagian penyebut harus sama sebelum kita melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan.

contoh:

1. 1/2+3/2=4/2=2

2. 1/3+1/6=2/6+1/6=3/6=1/3

Sifat-sifat penjumlahan pecahan:

1.

Sifat Komutatif

:

a

+

c

=

c

+

a

b

d

d

b

2.

Sifat Asosiatif

:

{

a

+

c

}

=

a

+

{

c

+

p

}

b

d

b

d

q

3.

Bilangan Nol dalam Pecahan

:

0

=

0

dan

a

=

Tidak didefinisikan

a

0

2. Perkalian Pecahan

Dalam mengalikan pecahan kita tinggal mengalikan pembilang dengan pembilang serta penyebut dengan penyebut.

contoh :

1. 2/3 x 4/5 = 8/15

2. 7/5 x 4/3 =28/15

Sifat-sifat perkalian pecahan:

1.

Sifat Komutatif

:

a

x

c

=

c

x

a

b

d

d

b

2.

Sifat Asosiatif

:

{

a

x

c

}

x

f

=

a

x

{

c

x

f

}

b

d

g

b

d

g

3.

Sifat Distributif

:

a

x

{

c

+

f

}

=

{

a

x

c

}

+

{

a

x

f

}

b

d

g

b

d

b

g

a

x

{

c

-

f

}

=

{

a

x

c

}

-

{

a

x

f

}

b

d

g

b

d

b

g

4.

Perkalian dengan “1”

:

a

x

1

=

1

x

a

=

a

jadi

a

x

b

=

1

b

b

b

b

a

3. Pembagian Pecahan

Untuk membagikan pecahan kita harus merubahnya kedalam bentuk perkalian, dimana pecahan disebelah kanan tanda harus dibalik selanjutnya tanda pembagian berubah menjadi anda perkalian. Jika sudah demikian kita kalikan saja seperti perkalian pecaahan pada umumnya.

contoh :

1. 1/4 : 1/2 = 1/4 x 2/1 = 2/4 = 1/2

2. 3/2 : 5/6 = 3/2 x 6/5 = 18/10 = 9/5

PERBANDINGAN

1.	a : b = c : d ; seharga dengan a x d = b x c
2.	a : b = c : d ; dapat diubah menjadi 4 perbandingan lain yaitu:
		d : b = c : a
		a : c = b : d
		c : d = a : b
		b : a = d : c

3.

Pada setiap perbandingan suku-sukunya boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama

a : b = c : d ; dapat diubah menjadi:

a.

ma

:

mb

=

mc

:

md

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

m

m

b.

ma

:

mb

=

c

:

d

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

c.

a

:

b

=

mc

:

md

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

d.

ma

:

b

=

mc

:

d

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

e.

a

:

mb

=

c

:

md

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

f.

am

:

b

=

c

:

d

atau:

a

:

mb

=

c

:

d

m

m

PERSEN

merupakan sebuah angka atau perbandingan atau juga rasio yang digunakan untuk menyatakan pecahan dari seratus. Persentase dilambangkan dengan tanda “%”. Persentase ini sangat berguna dalam kehidupan sehari untuk membandingkan hal yang tidak sama angkanya, misalnya dalam suatu ujian, nilainya juga sering menggunakan persentase agar orang dapat membandingkan meskipun pertanyaanya berbeda.

Perhatikan contoh berikut :

Merubah Persen ke desimal

1. 1% = 1/100 = 0,01

2. 75% =75/100 = 0,75

Merubah Persen ke Pecahan

1. 20% = 20/100 =2/10 =1/5

2. 37½% = 37,5/100 = 0,375 = 3/8

Contoh soal penggunaan dalam kehidupan sehari-hari :

Mita mempunyai uang sebesar 40 ribu. Uang Ali ditambah uang Gea menjafi 90% dari Uang Mita. Jika uang Ali 5/7 dari uang Gea maka berapakah masing-masing uang Ali dan Gea?

Jawab:

Uang Ali dan Gea =90% x 40 = 36

Atau secara analogi

10 kantong = 40
9 kantong = …? = 36

Dan

5k + 7k = 36

12k = 36 ===> k = 3

Uang Ali = 5k = 5.3 = 15 ribu
Uang Gea = 7k = 7.3 = 21 ribu

Sedikit ulasan mengenai Pecahan, Perbandingan serta persen diatas mudah-mudahan dapat membantu dalam memahami matematika untuk sobat semua. U

More about → Pecahan, Perbandingan Serta Persen