Matematika Diskrit "LOGIKA"

Matematika Diskrit "LOGIKA"

BAB 1 di Mata Kuliah Matematika Diskrit akan membahas tentang LOGIKA..
nahhh, sekarang aku bakalan bahas tentang inii. Dulu waktu kita SMA udh prnh kk dpet materi ini, cuma di universitas kita bahas materi ini "lagi" dan lebih dalam..
check this out!! :D

LOGIKA
Matematika Diskrit punya pengertian yaitu ilmu matematika yang bakalan mempelajari tentang objek-objek diskrit. Di dalam logika akan membahas tentang banyak sub bab, antara lain :
PROPOSISI
Proposisi bisa juga disebut sebagai statement   mempunyai pengertian yaitu sebuah nilai deklaratif yang memiliki satu kebenaran Benar (B) atau Salah (S). Beberapa contoh yang merupakan preposisi atau bukan preposisi :
11 merupakan bilangan prima.
 Hewan adalah salah satu jenis makhluk hidup di bumi.
Jika 20 habis dibagi 4 maka habis dibagi 2 juga.
Tyas pandai bermain basket atau futsal.
Olahragalah secara teratur!!
Semoga sukses dalam menggapai cita-cita mu.
Kalimat deklaratif pertama dan kedua merupakan kalimat proposisi primitip(primitif) karena tidak memiliki kata penghubung sama sekali. Kalimat yang ketiga dan keempat merupakan kalimat proposisi majemuk(composite) karena memiliki kata penghubung "jika", "atau". Dan yang kalimat kelima dan keenam bukan kalimat proposisi.

Penghubung sendiri di dalam logika matematika ada 5 jenis penghubung, yaitu :
Negasi (Negation)
Negasi untuk berbagai macam proposisi, yang memiliki nilai kebenaran B/S, maka negasinya memiliki nilai kebenaran dari lawannya yaitu S/B.
Konjungsi (Conjunction)
 Sebuah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.
Disjungsi (Disjunction)
 Proposisi yang bernilai salah jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.
Implikasi (Implication)
Proposisi yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Proposisi p disebut sebagai anteseden(promis/hipotesa) dan proposisi q disebut sebagai konsekuen(konklusi/kesimpulan).
Ekuivalen (Equivalence)
 Proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

Di dalam matematika diskrit ini secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r  dan seperti ini permisalannya :
p : 6 adalah bilangan genap.
q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
r :  3+3 = 6
Untuk mendefinisikan p sebagai preposisi "6 adalah bilangan genap" , begitu dengan q dan r.

Dibawah ini adalah beberapa contoh proposisi majemuk dan notasi simbolik nya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut sebagai Ekspresi Logika.

Contoh 1.1
Diketahui proposisi-proposisi sebagai berikut :
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
maka
p ^ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
p v q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
~p    : Hari ini tidak hujan
 Contoh 1.2
 Diketahui proposisi-proposisi sebagai berikut :
p : Hari ini hujan
q : Hari ini dingin
 maka
q v ~p   : Hari ini dingin atau tidak hujan
~p ^ ~q : Hari ini tidak hujan maupun dingin
~ (~p)   : Salah bahwa hari ini tidak hujan

      2.  TABEL KEBENARAN

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya, dan caranya adalah menghubungkan dengan operator logika. Misalnya p dan q adalah proposisi, maka :
 (a) Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, maka selain itu nilainya salah.
 (b) Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, maka selain itu nilainya benar.
 (c) Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan bernilai salah jika p benar.

Contoh 2.1
Diketahui :
p : 17 adalah bilangan prima
q : bilangan prima selalu ganjil
dari pernyataan diatas jelas sekali bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi.
p ^ q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil
maka pernyataan tersebut salah.

Kita bisa mempermudah untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran (truth table ). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dengan proposisi atomik.

Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, dan sebaliknya jika ia salah untuk semua kasus maka disebut kontradiksi. Pengertian dari kata "semua kasus" adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi mempunyai ciri di dalam tabel kebenaran pada kolom terakhir nilai nya hanya memuat T saja. Sedangkan proposisi kontradiksi dicirikan di dalam tabel kebenaran pada kolom terakhir hanya memuat nilai F saja.

   3. PREDIKAT/ FUNGSI PROPOSISI

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. P itu sendiri bisa disebut sebagai fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. Sedangkan D adalah daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.

Sebuah predikat seringkali menyatakan tentang sebuah hubungan relasional antara konstanta, variabel dan fungsi. Berikut adalah simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat :
Simbol konstanta : a, b, c, d
Simbol variabel    : x, y, z, w
Simbol fungsi       : f, g, h
Simbol predikat   : P, Q, R, S

    4. HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Proposisi dalam hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil, misalnya a(b+c) = ab + bc , yaitu hukum distributif,sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, keekivalenan dapat dibuktikan dengan menggunakan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik.

    5. PROPOSISI BERSYARAT (IMPLIKASI)

Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga dapat muncul berbentuk "jika p, maka q", seperti pada contoh dibawah ini :
 a. Jika adik lulus ujian, maka dia mendapat hadiah dari ayah.
 b. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri.
Pernyataan berbentuk "jika p, maka q" semacam itu disebut sebagai proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk "jika p, maka q" disebut sebagai proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan  p -> q . Proposisi p disebut hipotesis (antesenden/premis/kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (konsekuen).

     6. VARIAN PROPOSISI BERSYARAT

Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p -> q , yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan kontraposisi dari    proposisi asal p -> q.
Konvers (kebalikan) : q -> p
Invers                       : ~p -> ~q
Kontraposisi             : ~q -> ~p
Contoh 6.1
 Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut :
"Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya"
Jawaban :

Konvers       : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil
Invers           : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya
Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

    7. BIKONDISIONAL (BI-IMPLIKASI)

Proposisi bersyarat penting lainnya adalah berbentuk "p jika dan hanya jika q" yang dinamakan bikondisional atau bi-implikasi. Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk "p jika dan hanya jika q" disebut bikondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan p <--> q.

Contoh 7.1
 Dibawah ini proposisi majemuk bi-implikasi :
1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4
Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang dan sebaliknya
Bandung terletak di Jawa Barat jika dan hanya jika Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia

    8. INFERENSI

Misalkan kita diberikan beberapa proposisi, kita dapat menarik kesimpulan baru dari deret proposisi tersebut. Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi tersebut disebut sebagai inferensi (inference). Di dalam matematika distrik terdapat sejumlah kaidah inferensi, beberapa diantaranya adalah :
Modus Ponen atau law of detachment  menyatakan bahwa jika hipotesis p dan pada implikasi p -> q benar, maka konklusi q benar.
Modus Tollen  kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q ^ (p -> q) ] -> ~p.
Silogisme Hipotesis kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p -> q) ^ (q -> r)] -> (p -> r).
Silogisme Disjungtif kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p v q) ^ ~p] -> q.
Simplifikasi  kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ q) -> p, yang dalam hal ini, p dan q adalah hipotesis, sedangkan p adalah konklusi.
Penjumlahan kaidah ini didasarkan pada tautologi p -> (p v q) .
Konjungsi kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) ^ (q)) -> (p ^ q) .

    9.  AKSIOMA, TEOREMA, LEMMA, COROLLARY

Di dalam matematika maupun ilmu komputer kita sering menemukan kata Lemma dan Corollary.

Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi.

Contoh Aksioma :
Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan).
Jika diberikan dua buah titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui dua buah titik tersebut.
Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari teorema adalah lemma dan corollary.
Lemma adalah teorema sederhana yang digunakan dalam pembuktian dalam teorema lain. Lemma biasanya tidak menarik namun berguna pada pembuktian proposisi yang lebih kompleks.
Corollary adalah teorema yang dapat dibentuk lagnsung dari teorema yang telah dibuktikan, atau dapat dikatakan bahwa Corollary adalah teorema yang mengikuti teorema lain.

Contoh Teorema :
Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi  tersebut sama besar.

Contoh Lemma :
 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n - 1 bilangan positif atau n - 1 = 0

Contoh Corollary :

 Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut.